For my friend

Filed on Wed Oct 19, 2005 11:08 pm, by barra

$\left( \begin{array}[c]{ccccc} 1 & 2 & 1 & 4 & 1\\ 2 & 1 & 2 & 2 & 5\\ 1 & 0 & 1 &...$

The second and the third row of the last matrix is obtained respectively from
$-2r_{1}+r_{2}$ and $-r_{1}+r_{3},$ where $r_{i}$ indicated the $i$ -th row. We
also see that we have a relation that $r_{2}^{\prime}=\frac{3}{2}r_{3}^{\prime},$ where $r_{j}^{\prime}$ is the $j$ -th row of the new matrix. Since
$r_{2}^{\prime}=-2r_{1}+r_{2}$ and $r_{3}^{\prime}=-r_{1}+r_{3},$ it follows
that
$-2r_{1}+r_{2}=\frac{3}{2}\left( -r_{1}+r_{3}\right) \Longleftrightarrow -\frac{1}{2}r_{1}+r_{2}-\frac{3}{2}r_{3}=0$
So the rows of the original matrix is linearly dependent.

For 2(d), we have $A=\left( \begin{array} [c]{cccc} 1 & 1 & 0 & 0\\ 1 & 0 & 1 & 0\\ 1 & 0 & 0 & 1 \end{array...$ and $\beta=\left( \begin{array} [c]{c} \mu\\ \tau_{1}\\ \tau_{2}\\ \tau_{3} \end{array} \right) .$ Let $x=\left( \begin{array} [c]{c} \mu+\tau_{1}\\ \tau_{2}-\tau_{1}\\ \tau_{3}-\tau_{1} \end{array} \right) .$ We want to find $B$ such that $A\beta=Bx.$ We can easily compute
that
$A\beta=\left( \begin{array} [c]{c} \mu+\tau_{1}\\ \mu+\tau_{2}\\ \mu+\tau_{3} \end{array} \right)$
Note that $\mu+\tau_{1}=1\left( \mu+\tau_{1}\right) +0\left( \tau_{2} -\tau_{1}\right) +0\left( \tau_{3}-\tau_{1}\right) ,$ $\mu+\tau _{2}=1\left( \mu+\tau_{1}\right) +1\left( \tau_{2}-\tau_{1}\right) +0\left( \tau_{3}-\tau_{1}\right) ,$ and $\mu+\tau_{3}=1\left( \mu+\tau _{1}\right) +0\left( \tau_{2}-\tau_{1}\right) +1\left( \tau_{3}-\tau _{1}\right) .$ Hence we can take $B=\left( \begin{array} [c]{ccc} 1 & 0 & 0\\ 1 & 1 & 0\\ 1 & 0 & 1 \end{array} \right) ,$ and one easily check that $A\beta=Bx.$

Field Theory (note 1)

Filed on Thu Aug 25, 2005 1:30 pm, by barra

Summary:
* Complex field is obtained when one asked in which field that the equation $x^2+1=0$ has a solution.
* Given a field $F$ and an irreducible polynomial $p(x)$ in $F[x]$ , then it is natural to ask whether there is an extension of $F$ that contain a root of $p(x)$ .
* The answer to above question is positive. The field $F[x]/(p(x))$ is contained a subfield that isomorphic to $F$ , and $\pi(x)=\bar{x}$ the image of $x$ under the natural projection $\pi$ is a root of $p(x)$ in $F[x]/(p(x))$ .
* Every root of $p(x)$ is algebraically indistinguishable in the sense that if $\alpha,\beta$ are roots of $p(x)$ then
$F(\alpha)\approx F(\beta)\approx F[x]/(p(x))$
* More general, if $F$ and $F'$ are isomorphic then $F[x]$ and $F'[x]$ are isomorphic. Let $p'(x)$ be the image of $p(x)$ under this isomorphism. If $\alpha$ is a root of $p(x)$ and $\beta$ is a root of $p'(x)$ , then
$F(\alpha)\cong F'(\beta)$

Komentar Mahasiswa

Filed on Sat Aug 20, 2005 11:13 am, by barra

Summer kemarin adalah pengalaman pertama saya mengajar mahasiswa di US. Mata kuliah yang diajarkan adalah Calculus for Life and Social Sciences. Dan " to be honest " saya tidak terlalu antusias mengajarkannya, karena setelah saya lihat teks booknya apa yang mereka bilang sebagai applied calculus hanyalah penerapan trivial dari ide-ide dasar kalkulus, yang menurut pendapat saya terlalu berlebihan jika di sebut sebagai "applied".

Seperti biasa di penghujung perkuliahan mahasiswa memberikan komentar tentang performance saya. Dan hari kemarin saya mendapat feedbacknya dari universitas. Secara umum inilah yang mereka rasakan selama saya mengajar (maksimum point 5)

Overall, how much do you feel you learned 3.50
(5=much more, 1=much less)

overall rating of instructor teaching 3.71
(5=almost always effective)

overall rating of this course 3.43
(5=one of the best)

Kalau di lihat secara umum memang angka-angkanya di atas rata-rata. Namun masih banyak hal yang harus saya perbaiki. Beberapa komen tertulis yang harus saya perhatikan dengan serius:

-bahasa inggrisnya tidak jelas Blush

-tidak/kurang passionate dalam mengajar Yup

-terlalu cepat ketika menerangkan

Ada beberapa hal yang menjadi bahan refleksi saya. Saya merasa ada perbedaan cara pandang antara saya dan mahasiswa tentang bahan perkuliahan. Saya melihat bahwa apa-apa yg dipaparkan di teksbook ide matematisnya jelas dan sederhana, apa yg dikatakan sebagai "terapan" hanyalah ide yg sama dalam bentuk penyamaran lain. Saya curiga bahwa mahasiswa tidak memandang fungsi dalam kategori yang umum. Sebagai contoh dalam terapan konsep integral dan derivative, yang berbeda hanyalah jenis fungsinya saja: fungsi keuntungan, fungsi biaya, fungsi kecepatan benda, fungsi pelarutan obat dalam darah, dsb.

Apapun, masih banyak PR yang harus saya kerjakan untuk memperbaiki kinerja saya dalam mengajar Smile